3 четверть С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников


  1. Уравнение, одна часть которого алгебраическая дробь, а другая – нуль. Чтобы решить уравнение  P(x)/Q(x)=0 где P(x) и Q(x)- многочлены, надо найти корни уравнения Р(х)=0 и подставить каждый из них в знаменатель Q(х) левой части первоначального уравнения. Те из них, которые обращают знаменатель Q(х) в число, не равное нулю, являются корнями первоначального уравнения; других корней первоначальное уравнение не имеет.
  2. Решение рациональных уравнений. Чтобы решить рациональное уравнение, надо перевести все его члены в левую часть, затем, применяя правила сложения и вычитания алгебраических дробей, записать левую часть как алгебраическую дробь и решить полученное уравнение.

 

  1. Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой y = kx, где х – независимая переменная, k – не равное нулю число. Число k называют коэффициентом прямой пропорциональности.

График прямой пропорциональности представляет собой прямую, проходящую через начало координат

Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции

Свойства функции y = kx:

1. Область определения функции - множество всех действительных чисел.

2. Это нечетная функция.

3.Переменные изменяются прямо пропорционально на всей числовой прямой: при возрастании аргумента функция пропорционально возрастает, при убывании аргумента функция пропорционально убывает.

4. При положительномkточка (1;k) находится в Iчетверти, а при отрицательном k- в IVчетверти.

4. Линейная функция. Линейная функция – это функция, которую можно задать формулой y = kx + b, где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.

Графиком линейной функции является прямая, пересекающая ось ординат в точке D(0; b), параллельная прямой y=kx. Число k называют угловым коэффициентом прямой – графика функции y = kx + b. Если k > 0, то угол наклона прямой y = kx + b к оси х острый; если k < 0, то этот угол тупой.

Функция y=|x|

\[y = \left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l} x,x \ge 0\\ - x,x < 0 \end{array} \right.\]

Свойства функции y=|х|

1) Область определения — множество действительных чисел: D: x(-∞; ∞).

2) Область значений —множество неотрицательных чисел:E: y[0; ∞).

3) Функция имеет один нуль: y=0 при x=0.

4) График функции модуль x  симметричен  относительно оси Oy (противоположным значениям x соответствуют равные значения y:|-х|=|х|, то есть y=|х| — чётная функция).

5) Функция модуля убывает при x(-∞; 0) и возрастает при x(0; ∞).

6) Функция у=ах2 (а < 0). Графиком этой функции является парабола.

График функции у = ах2 можно получить из параболы у = х2 растяжением вдоль оси ординат в а раз при а > 1 и сжатием вдоль оси ординат в 1/a раз при 0 < а < 1. График функции у = ах2 так же, как и график функции у = х2, называют параболой.

Свойства функции у = ах2 при а > 0:

1. Область определения функции - промежуток (-∞; ∞).

2. Если х = 0, то у = 0. Следовательно, график проходит через начало координат.

3. Если х ≠ 0, то у > 0. Поэтому график расположен в верхней полуплоскости.

4. Функция четная, т. е. противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции у(-х) = у(х). График функции симметричен относительно оси ординат.

5. Функция убывает в промежутке (-∞; 0] и возрастает в промежутке [0; ∞).

6. Функция ограничена снизу, у ≥ 0. Наименьшее значение у = 0 функция принимает при х = 0, наибольшего значения функция не имеет.

7. Область значений функции - промежуток [0; +∞).

7. Функция у=ах2 (а≠0). Графиком функции является парабола.

Свойства функции:

  1. D(y) =R
  2. При а больше 0 график расположен выше оси Ох, при а меньше 0 график функции расположен ниже оси Ох.
  3. Функция четна, ось Оу является осью симметрии
  4. Функция у=ах2 (а≠0) при х=0 принимает для а больше 0 свое наименьшее значение, для а меньше 0- свое наибольшее значение, равное 0.

8. График функции у=а(х-х0)20.Чтобы построить параболуу=а(х-х0)2+у0.Надо параболу у=ах2 сдвинуть на 0|единиц вправо, если х0 больше 0, и влево, если х0 меньше 0; затемполученную параболу сдвинуть на0|единиц вверх, если у0 больше 0, и вниз, если у0 меньше 0.

9. Квадратичная функция и ее график.Функция вида y=ax2+bx+c, где a, b, c — данные числа, a 0, называется квадратичной функцией.

Графиком квадратичной функции является парабола. 

Область определения функции  D(f)  — все действительные числа.

Область значений функции  E(f)  считывается с графика, она зависит от координаты  y , вершины параболы и направления ветвей параболы.

Параметр  a  определяет направление ветвей параболы:

   если  a>0 , то ветви направлены вверх;

   если  a<0 , то ветви направлены вниз.

Параметр  c  указывает, в какой точке парабола пересекает ось  Oy . 

Чтобы построить график квадратичной функции, необходимо:

1) вычислить координаты вершины параболы:  x0=−b2/aиy0  — которую находят, подставив значение  x0   в формулу функции;

2) отметить вершину параболы на координатной плоскости, провести ось симметрии параболы;

3) определить направление ветвей параболы;

4) отметить точку пересечения параболы с осью  Oy ;

5) составить таблицу значений, выбрав необходимые значения аргумента  x .

Решив квадратное уравнение  ax2+bx+c=0 , получаем точки пересечения параболы с осью  Ox , или корни функции (если дискриминант  D>0 );

если  D<0 , то точек пересечения параболы с осью  Ox  не существует;

если  D=0 , то вершина параболы находится на оси  Ox .

 

 

Источник:Учебник для общеобразовательных организаций Алгебра – 8класс( С.М.Никольский,  М.К.Потапов, Н.Н.Решетников и др.)-5 изд.- М.: Просвещение,2018.

Категория: Математика, 8 класс
Просмотров: 48 Загрузок: 2